什么叫反常积分？,反常积分公式问题

什么叫反常积分？

反常积分是指在某些情况下对定积分概念的推广。在定积分中，积分的区间是有限的，被积函数是有界的。然而，在实际应用和理论研究中，我们会遇到一些在无限区间上定义的函数或在有限区间上无界的函数，这些情况也需要我们考虑类似于定积分的问题。

因此，为了能够处理这类函数的积分，我们引入了反常积分的概念。反常积分也被称为广义积分，因为它与传统的定积分有所不同。

若积分上下限均为无穷，或者被积函数存在多个奇点，这种情况称为混合反常积分。在这种情况下，我们需要将积分拆分成多个区间，以将原积分表示为无穷区间和无界函数的两类反常积分之和。

常用反常积分公式的推导

假设有泊松积分：
$$I = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \, dx$$

有如下等式：
$$I^2 = \left(\int_{0}^{\infty} e^{x^2} \, dx \right) \cdot \left(\int_{0}^{\infty} e^{y^2} \, dy \right)$$

可以转化为：
$$I^2 = \iint_{D} e^{-(x^2 + y^2)} \, dx \, dy$$

通过积分变换可以得到：
$$I^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{\infty} e^{-\rho^2} \rho \, d\rho = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2}$$

因此，最终得到：
$$I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

反常积分的推导方法

反常积分定义为：
$$\int_{-\infty}^{+\infty} F(x) \, dx$$

为了计算这个integral，我们可以将其拆分为两个部分：
$$\int_{-\infty}^{b} F(x) \, dx = \lim_{t \to -\infty} \int_{t}^{b} F(x) \, dx$$

再者，反常积分可以表述为：
$$\int_{-\infty}^{+\infty} F(x) \, dx = \lim_{t \to -\infty} \int_{t}^{+\infty} F(x) \, dx$$

对于不同的函数，反常积分的计算方法有所区别，主要下列情况：

1. 当函数在有限区间内连续且有界时，直接计算定积分。
2. 若函数在某区间内有奇点，从奇点处分段计算。
3. 对幂函数、指数函数、三角函数等，可通过求极限来计算。
4. 当积分区间为半开半闭形式，类似地考虑与区间端点相关的极限。

通过以上分析，我们可以更好地理解反常积分的推导和应用。

递推公式计算反常积分

在不写上下限的情况下，始终假设积分范围为 $(0, +\infty)$：

设定 f(n) 为：

$$f(n) = \int_{0}^{+\infty} x^n e^{px} \, dx$$

递推公式可以表示为：
$$f(n) = \frac{n}

\int_{0}^{+\infty} x^{n-1} e^{px} \, dx$$

最终可以得到：
$$f(n) = f(0) \cdot \frac{n}{p^n}$$

其中，f(0) = 1，因此得出：
$$f(n) = \frac{n!}{p^{n+1}}$$

反常积分公式问题

在反常积分中，F(a+0)表示的是x = a处的右极限，即：
$$\lim_{x \to a^+} F(x)$$

在实际应用中，这个概念是牛顿－莱布尼兹公式的推广，简单地说，如果上下限可以直接代入函数值，则代入；否则，就要计算极限。