分部积分公式 ∫uvdx,使用分部积分法求定积分

分部积分公式 ∫uvdx

分部积分的基本公式为：

对于两个函数u和v，有：(uv)' = u'v + uv'

根据此公式，可以推导出：u'v = (uv)' - uv'

将两边积分，得到：

∫u'v dx = ∫(uv)' dx - ∫uv' dx

因此可得最终的分部积分公式：

∫u'v dx = uv - ∫uv' dx

简写为：∫v = uv - ∫udv

基本积分公式

1、∫0dx = c

2、∫x^u dx = (x^(u+1))/(u+1) + c

3、∫1/x dx = ln|x| + c

4、∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + c

5、∫e^x dx = e^x + c

6、∫sin(x)dx = -cos(x) + c

7、∫cos(x)dx = sin(x) + c

8、∫1/(cos(x))^2dx = tan(x) + c

9、∫1/(sin(x))^2dx = -cot(x) + c

如何计算 ∫uvdx

步骤一：

∫(uv)' dx = ∫d(uv) 【注意：∫f'(x)dx = ∫df(x)】

= ∫1 d(uv) 【将积分变量变为uv】

= uv + C

步骤二：

∫(uv)' dx = ∫(u'v + uv')dx 【展开(uv)'】

= ∫u'vdx + ∫uv'dx

= ∫v + ∫udv 【∫u'dx = v'dx = dv】

= (uv - ∫udv) + ∫udv 【使用分部积分法：∫v = uv - ∫udv】

= uv + C

计算 ∫uv'dx

∫uv'dx = uv - ∫u'vdx 。根据积分的定义可得：

∫uv'dx = uv - ∫u'vdx 是公式的简写形式。

分部积分法的公式

分部积分法的基本公式为：

∫uv dx = uv - ∫uv dx。

再重述一次，最终得出的公式可以简写为：∫v = uv - ∫u dv

uv映射公式

uv映射公式为：u = u(x)，v = v(x)

(uv)' = u'v + uv' 重新排列后得到：uv' = (uv)' - u'v

对两边进行积分，得到：

∫uv'dx = uv - ∫u'vdx。

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx 亦即：∫udv = uv - ∫v。

定义

设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，若增量Δy = f(x + Δx) - f(x) 可以表示为Δy = AΔx + o(Δx)，其中A为常量且可以随x改变，则称函数f(x)在点x可微。

此时，AΔx称为函数的微分，记作dy = AΔx。

使用分部积分法求定积分

∫u'v dx = uv - ∫uv' dx。

分部积分的推导过程如下：

1. (uv)' = u'v + uv'
2. 得到：u'v = (uv)' - uv'
3. 对两边进行积分：∫u'v dx = ∫(uv)' dx - ∫uv' dx

最终得出分部积分公式：

∫u'v dx = uv - ∫uv' dx

简写为：∫v = uv - ∫u dv